浄水器は、水道水などをフィルターで類でろ過し、きれいな水にする装置です。
最も一般的に「水を綺麗にする」といえばこの浄水器の事を指すことが多いでしょう。
フィルター交換をしなければいけないので、メンテナンスは必要ですが、一度設置すれば常にきれいな水を確保できるのが強みです。

整水器というのは、アルカリイオン水製造装置のことで、
水道水をアルカリ性と酸性に分ける装置の事です。
当然浄水機能も持っています。水自体をアルカリ性水に変換するため、胃腸を改善する働きがあります。

つまり、浄水器は水道水の有害物質等を「取り除く」装置であり、整水器は「アルカリイオン水に変える」装置であるという事です。
一般的には浄水器のほうが整水器より種類が多く、また値段も手ごろである事が多いです。